air distribution

空気はどこまで広がっているか

必要な知識レベル：大学3年程度（統計力学）

地上から上空まで温度は一定で，250Kと仮定し，またボルツマン分布を仮定する。

これにより空気は標高7600mで1/eまで減少すると得られる。この見積もりは実験とよく一致する。

話を簡単にするために地上から上空まで温度は一定で，250Kとする。

(単なる見積もりなので50Kとか100Kくらい間違っていても，気にする価値は無い。)

空気の分布にはボルツマン分布 exp(-E/kT) を仮定する。

標高 h[m]に居る分子の位置エネルギーEはmghである。mは分子質量，gは重力加速度である。

分子の質量は，窒素で代表しよう。28g/molであるので，分子一つあたり4.65x10-26 kgである。

mg=4.56 x 10-25 [kgm/s2]となる。これにhをかけると位置エネルギーになる。

kTは，1.38x10-23 [J/K] * 250[K]=3.45x10-21[J]

地表，つまりmgh=0の時のexp(-E/kT)はexp(0)=1で，これが1気圧に相当する。

mgh=kTとなるときのexp(-E/kT)はexp(-1)=1/e=0.368程度。そのときのhはどのくらいだろうか。

mgh=4.56 x 10-25 [kgm/s2] * h = kT = =3.45x10-21[J]

Jはkg m2/s2であることを思い出しておこう。

h= (3.45x10-21) / (4.56 x 10-25) [m] =7570[m]

いろいろ適当だけれども，標高7570mで気圧は0.368気圧，という見積もりになった。

ここまでは，頭の中に入っている値と電卓で到達できる。

さて，実験データを調べてみよう。

理科年表によると，0.368気圧になる標高は7710mだそうだ。

また，標高0m(288K)から8000m(236K)の間で気温はほぼ線形に低下していき，平均気温は262Kであった。

適当な見積もりをしているので，合ってると言って良い見積もりであると言えよう。

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分子一つのエネルギーは，運動エネルギーも含めて

E = (1/2)mv2 + mgh

となるべきではないか，と思う人もいるだろうし，実際，それが正しい。

空気が広く空間に分布しているのは位置エネルギー云々ではなく，温度がある＝分子が動いている＝床に留まっていられないからで，運動を考えないのはおかしい，と思う人もいるだろう。こちらは正しくない。これについて追記する。

ボルツマン分布に従うと，上のエネルギーを持った速さv, 高さhの分子の分布関数は

f(v,h) = exp[-{(1/2)mv2 + mgh}/kT] = exp[-(1/2)mv2/kT] exp[-mgh/kT]

に比例する。標高に対する空気の分布を考えているときには，「ある高さに居る全ての速度の分子の数」を気にしているので，vについて積分した分布が問題になる。

f(h) = ∫∫∫ f(v,h) dvx dvy dvz

= exp[-mgh/kT] ∫∫∫ exp[-(1/2)mv2/kT] dvx dvy dvz

となる。積分したところは温度を決めれば単に定数になるため，位置エネルギーだけ考えた議論と一致する。